Формула произведения корангов

Формула произведения корангов — математическая формула, выражающая коразмерность множества точек, в которых ядро производной отображения имеет заданную размерность, в виде произведения корангов данного отображения в прообразе и образе.

Точная формулировка

Корангом линейного отображения $A: \mathbb R^m \to \mathbb R^n$ в прообразе (в образе) называется число $m-r$ (соответственно, $n-r$), где $r$ — ранг отображения $A$. Коранги связаны с размерностью ядра $A$ формулами: $m-r=i$ и $n-r = n-m+i$.

Пусть $f: M^m \to N^n$ — гладкое отображение гладких многообразий $M^m$ и $N^n$ размерностей $m$ и $n$, соответственно. Символом $f_{*x}$ обозначается его производная в точке $x \in M^m$, то есть линейное отображение касательных пространств $f_{*x}: T_{x}M^m \to T_{f(x)}N^n$. Точка $x \in M^m$ принадлежит множеству $\Sigma^i,\,$ $i \ge 0,$ если размерность ядра производной $f_{*x}$ в этой точке равна $i$. Множества $\Sigma^0, \ldots, \Sigma^m$ заведомо покрывают всё многообразие $M^m$, однако, как правило, в этой цепочке не все множества являются непустыми (например, в случае $n>m$ имеет место неравенство $r \le n<m$, из которого с учетом соотношения $m-r=i$ следует, что $i>0$, то есть множество $\Sigma^0$ пусто).

Теорема

Для отображения $f: M^m \to N^n$ общего положения все множества $\Sigma^i$ являются гладкими подмногообразиями в $M^m$. При этом имеет место соотношение $m - \dim \, \Sigma^i = (m-r)(n-r),$ где $r=m-i$ — ранг отображения $f_{*x},$ называемое формулой произведения корангов.

Вычисленное по этой формуле значение $\dim \Sigma^i$ может быть отрицательным. Это означает, что соответствующее множество $\Sigma^i$ пусто.

Следствие

В пространстве матриц типа $(m, n)$ множество матриц ранга $r$ образует гладкое многообразие коразмерности $(m-r)(n-r)$.

Литература

• Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Любое издание.

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии. Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Проставить интервики в рамках проекта Интервики.