Тензор Эйнштейна

Те́нзор Эйнште́йна ($G_{\mu\nu}\,$) — тензорная величина, представляющая собой вариационную производную скалярной кривизны связности Леви-Чивита по метрическому тензору. В этом качестве стоит в левой части уравнения Эйнштейна. Тензор Эйнштейна — симметричный тензор второго ранга в n-мерном пространстве, то есть содержит $n(n+1)/2$ независимых компонентов, представляющих собой сложные комбинации компонент метрического тензора и его первых и вторых производных.

Тензор Эйнштейна равен разности тензора Риччи $R_{\mu\nu}\,$ и половины метрического тензора $g_{\mu\nu}\,$, умноженного на скалярную кривизну $R \,$:

$G_{\mu\nu} \, = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} \, g_{\mu\nu} \, R$.

Домножив обе части этого равенства на $g^{\mu\nu}\,$ и произведя свёртку, находим след тензора Эйнштейна:

$\operatorname{Sp} \, G_{\mu\nu} \, = \frac{2 \, - n}{2} \, R$.

При этом в частном случае четырёхмерного пространства:

$\operatorname{Sp} \, G_{\mu\nu} \, = - \, R$.

Ковариантная дивергенция тензора Эйнштейна тождественно равна нулю

$G^\mu_{\nu;\mu} \equiv 0$,

что служит обоснованием его использования в левой части уравнения Эйнштейна, так как такое же свойство выполняется для тензора энергии-импульса.