- Полицикл
-
Полицикл векторного поля (также используется термин сепаратрисный многоугольник) — это замкнутая инвариантная кривая, состоящая из особых точек и соединяющих их отрезков фазовых кривых. Различные задачи, связанные с предельными циклами (такие как проблема Дюлака, 16-я проблема Гильберта, проблема Гильберта-Арнольда и др.) зачастую сводятся к изучению бифуркаций векторных полей, содержащих полициклы. Поскольку векторное поле задает автономное дифференциальное уравнение и соответствующую динамическую систему, говорят также о полициклах уравнений и систем.
Формальное определение
Полициклом векторного поля называется циклически занумерованный набор особых точек (возможно, с повторениями) и набор дуг фазовых кривых (без повторений), последовательно соединяющих указанные особые точки — то есть дуга соединяет точки и , где , .
Цикличность полицикла
Говоря неформально, цикличность полицикла — это количество предельных циклов, «рождающихся из полицикла» в результате малого возмущения системы. Чтобы придать этому определению строгий смысл, необходимо указать, какие именно малые возмущения рассматриваются — иными словами, включить систему с полициклом в некоторое семейство. Точное определение звучит следующим образом:
Определение. Рассмотрим некоторое семейство векторных полей , зависящее от (вообще говоря, многомерного) параметра . Пусть при система имеет полицикл . Цикличностью полицикла в семействе называется такое минимальное число , что найдется такая окрестность полицикла и такая окрестность критического значения параметра (), что для всех в области одновременно существует не более предельных циклов, причем хаусдорфово расстояние между этими циклами и стремится к нулю при .Источники
- В. Ю. Калошин. Проблема Гильберта — Арнольда и оценка цикличности полициклов на плоскости и в пространстве. Функц. анализ и его прил., 35:2 (2001), 78–81.
Категория:- Динамические системы
Wikimedia Foundation. 2010.