- Обратимый элемент
-
Не следует путать с единичным элементом.
Обратимым элементом, а также единицей кольца или делителем единицы, называется всякий элемент кольца, для которого существует обратный элемент относительно умножения, то есть такой элемент , что , где e — единичный элемент кольца.
Множество всех обратимых элементов кольца образует мультипликативную группу, называемую группой единиц или группой обратимых элементов.
Если — делитель единицы, то элементы и называются ассоциированными с .
Обычно понятия делителя единицы и ассоциированного элемента употребляются для областей целостности.
Примеры
- В кольце целых чисел два делителя единицы: +1 и -1.
- В кольце вычетов по модулю m, обратимыми элементами являются вычеты, взаимно простые с модулем m. Они образуют мультипликативную группу кольца вычетов.
- В кольце гауссовых целых чисел четыре делителя единицы: .
- В кольце многочленов над полем любой ненулевой элемент поля коэффициентов (как многочлен нулевой степени) является делителем единицы.
Литература
- Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.:, Наука, 1975.
- Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра, т.1 — М.:, ИЛ, 1963.
- Ленг С. Алгебра — М.:, Мир, 1967.
Категория:- Теория колец
Wikimedia Foundation. 2010.