- Формальная арифметика
-
Аксиомы Пеано — одна из систем аксиом для натуральных чисел.
Аксиомы Пеано позволили формализовать арифметику. После введения аксиом стали возможны доказательства многих свойств натуральных и целых чисел, а также использование целых чисел для построения формальных теорий рациональных и вещественных чисел.
Содержание
О неполноте
Как следует из теоремы Гёделя о неполноте, существуют утверждения о натуральных числах, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть, исходя из аксиом Пеано. Некоторые такие утверждения имеют достаточно простую, формулировку, например, Теорема Гудстейна (англ.).
Формулировки
Словесная
- 1 является натуральным числом;
- Число, следующее за натуральным, также является натуральным;
- 1 не следует ни за каким натуральным числом;
- Если натуральное число a непосредственно следует как за числом b, так и за числом c, то b и c тождественны;
- (Аксиома индукции) Если какое-либо предложение доказано для 1 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа n, вытекает, что оно верно для следующего за n натурального числа (индукционное предложение), то это предложение верно для всех натуральных чисел.
Математическая
Введём функцию S(x), которая сопоставляет числу x следующее за ним число.
- ;
- ;
- ;
- ;
- .
Дословный текст
Текст аксиом Пеано, как он приведен в оригинальном издании Пеано.
- «1 есть натуральное число»;
- «следующее за натуральным числом есть натуральное число»;
- «1 не следует ни за каким натуральным числом»;
- «всякое натуральное число следует только за одним натуральным числом»;
- Аксиома полной индукции.
Формализация арифметики
Формализация арифметики включает в себя аксиомы Пеано, а также вводит число 0 и операции сложения и умножения с помощью следующих аксиом:
- x + 0 = x
- x1 + S(x2) = S(x1 + x2)
История
Формальное определение натуральных чисел в XIX веке сформулировал итальянский математик Пеано. Аксиомы Пеано основывались на более ранних построениях Грассмана.
Литература
- Peano, G. Arithmetices principia, nova methodo exposita. Bocca, Torino, 1889.
- Арнольд И. В. Теоретическая арифметика. М.:Учпедгиз, 1938 (содержание и djvu-файл с полным текстом).
Wikimedia Foundation. 2010.