- Умножение двухэлементного тензора
-
Те́нзорное произведе́ние — одно из основных понятий линейной алгебры.
Содержание
Тензорное произведение модулей
Пусть — модули над некоторым коммутативным кольцом R. Тензорным произведением модулей называется модуль B над R, данный вместе с полилинейным отображением и обладающий свойством универсальности, то есть такой, что для всякого модуля C над R и любого полилинейного отображения существует единственный гомоморфизм модулей такой, что диаграмма
коммутативна. Тензорное произведение обозначается . Из универсальности тензорного произведения следует, что оно определено однозначно с точностью до изоморфизма.
Для доказательства существования тензорного произведения любых модулей над коммутативным кольцом построим свободный модуль M, образующими которого будут n-ки элементов модулей где . Пусть N — подмодуль M, порождаемый следующими элементами:
Тензорное произведение определяется как фактор-модуль B = M / N, класс обозначается , и называется тензорным произведением элементов xi, a f определяется как соответствующее индуцированное отображение.
Из 1) и 2) следует что отображение полилинейно. Докажем, что для для любого модуля C и любого полилинейного отображения существует единственный гомоморфизм модулей h, такой, что .
В самом деле, так как M свободен, то существует единственное отображение h * , делающее диаграмму
коммутативной, а в силу того, что g полилинейно, то на N h * (N) = 0, отсюда, переходя к индуцированному отображению, получаем, что , будет тем самым единственным гомоморфизмом, существование которого и требовалось доказать.
Элементы , представимые в виде , называются разложимыми.
Если — изоморфизмы модулей, то индуцированный гомоморфизм, соответствующий билинейному отображению
существующий по свойству универсальности, называется тензорным произведением гомоморфизмов fi.
Особенно простой случай получается в случае свободных модулей. Пусть — базис модуля Ai. Построим свободный модуль F над нашим кольцом, имеющий в качестве базиса элементы, соответствующие n-кам , определив отображение и распространив его на по линейности. Тогда F является тензорным произведением, где является тензорным произведением элементов . Если число модулей и все их базисы конечны, то
- .
Свойства
Из универсальности тензорного произведение легко выводятся следующие его свойства:
- Ассоциативность
- Коммутативность
- Линейность
- — внешняя сумма модулей.
- Модули полилинейных отображений и изоморфны.
- Если A — конечно порожденный проективный модуль, а A* — его сопряженный, то
Все эти изоморфизмы естественны.
Тензорное произведение векторных пространств
Так как векторное пространство является свободным модулем, то к ним относится всё предыдущее, для прикладной математики важны следующие частные случаи:
Тензорное произведение двух векторов
(Матричное) умножение вектора-столбца справа на вектор-строку даёт их тензорное произведение:
или, если пользоваться верхними и нижними индексами (по повторяющимся индексам подразумевается суммирование):
Если же не привязываться к матричной форме записи и матричным операциям, то, как и для тензоров более высокого ранга, прямое произведение будет представлять тензор более высокого ранга (для произведения векторов — второго, то есть с двумя значками) с компонентами, равными произведениям компонент множителей с соответствующими индексами:
Произведение двух векторов называется также диадным, а результат (тензор второго ранга) — диадой.
Тензорным произведением пространства векторов-столбцов на пространство векторов-строк является пространство матриц.
Тензорное произведение операторов
Пусть , — линейные операторы. Тензорное произведение операторов определятся по правилу
Если матрицы операторов при некотором выборе базисов имеют вид
то матрица их тензорного произведения запишется в базисе, образованном тензорным произведением базисов, в виде блочной матрицы
Соответствующая операция над матрицами называется кронекеровским произведением, по имени Л. Кронекера
Литература
- Винберг Э.Б. Курс алгебры. — 3-е изд.. — Москва: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7
- Ленг С. Алгебра. — Москва: Мир, 1967.
См. также
- Тензор
- Внешнее произведение
- Функтор Tor
Wikimedia Foundation. 2010.