- Полином Эрмита
-
Многочлены Эрмита — определенного вида последовательность многочленов одной вещественной переменной. Многочлены Эрмита возникают в теории вероятностей, в комбинаторике, физике.
Эти многочлены названы в честь Шарля Эрмита.
Содержание
Определение
В теории вероятностей полиномы Эрмита обычно определяются выражением:
- ;
в физике обычно используется другое определение:
- .
Два определения, приведенные выше, не являются в точности эквивалентными друг другу; каждое из них является "отмасштабированной" версией другого
- .
Явные выражения для первых десяти многочленов Эрмита приведены ниже (вероятностное определение):- .
Свойства
Ортогональность
Hn(x) -- полином порядка n, где n = 0, 1, 2, 3, .... Полиномы этой последовательности попарно ортогональны относительно скалярного произведения, задаваемого выражением:
- (вероятностная версия)
или
- (физическая версия)
где δnm -- Символ Кронекера, по определению равный 1, когда n = m и нулю во всех остальных случаях.
Таким образом, многочлены Эрмита образуют отрогональный базис в Гильбертовом пространстве функций, ограниченных в соответствующей норме
- .
Дифференциальное уравнение Эрмита
Многочлен Эрмита n-го порядка удовлетворяет дифференциальному уравнению Эрмита:
- (в теории вероятностей)
- (в физике)
Рекурсивное выражение
Последовательность многочленов Эрмита допускает рекурсивное определение:
- (в теории вероятностей)
- (в физике)
Применение
- Полиномы Эрмита применяются, в частности, в методе конечных элементов в качестве функций формы, что позволяет повысить гладкость получаемых приближенных решений.
- В квантовой механике полиномы Эрмита появляются при решении задачи квантового гармонического осциллятора
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Hermite Polynomial на сайте Wolfram MathWorld.(англ.)
- Module for Hermite Polynomial Interpolation by John H. Mathews
Wikimedia Foundation. 2010.