- Открытый шар
-
Понятие шара в метрическом пространстве естественно обобщает понятие шара в евклидовой геометрии.
Содержание
Определения
Пусть дано метрическое пространство (X,ρ). Тогда
- Шаром (или открытым шаром) с центром в точке и радиусом r > 0 называется множество
- Замкнутым шаром с центром в x0 и радиусом r называется множество
Замечания
Шар радиуса r с центром x0 также называют r-окрестностью точки x0.
Свойства
- Шар является открытым множеством в топологии, порождённой метрикой ρ.
- Замкнутый шар — замкнутым множеством в топологии, порождённой метрикой ρ.
- По определению такой топологии открытые шары с центрами в любой точке X являют собой её базу.
- Очевидно, . Однако, вообще говоря, замыкание открытого шара может не совпадать с замкнутым шаром:
- Например: пусть (X,ρ) — дискретное метрическое пространство, и X состоит из более, чем двух точек. Тогда для любого имеем:
Примеры
- Пусть — евклидово пространство с обычным Евклидовым расстоянием. Тогда
-
- если d = 1 (пространство — прямая), то
-
- — открытый и замкнутый отрезок соответственно.
- если d = 2 (пространство — плоскость), то
-
- — открытый и замкнутый диск соответственно.
- если d = 3, то
-
- — открытый и замкнутый стереометрический шар соответственно.
- В иных метриках шар может иметь иную геометрическую форму. Например, определим в евклидовом пространстве метрику следующим образом:
- Тогда
См. также
- Диск (топология)
Wikimedia Foundation. 2010.