- Бета-функция
-
Это статья о бета-функции Эйлера. См. также статью о бета-функции Дирихле.
В математике бета-функцией (-функцией, бета-функцией Эйлера или интегралом Эйлера I рода) называется следующая специальная функция от двух переменных:
- ,
определённая при , .
Бета-функция была изучена Эйлером и Лежандром [когда?], а название ей дал Жак Бине.
Содержание
Свойства
Бета-функция симметрична относительно перестановки переменных, то есть
- .
Бета-функцию можно выразить через другие функции:
- ,
где — Гамма-функция;
- ;
- ;
- ,
где — нисходящий факториал, равный .
Подобно тому как гамма-функция для целых чисел является обобщением факториала, бета-функция является обобщением биномиальных коэффициентов с немного изменёнными параметрами:
- .
Производные
Частные производные у бета-функции следующие:
- ,
где — дигамма-функция.
Неполная бета-функция
Неполная бета-функция — это обобщение бета-функции, заменяющее интеграл по отрезку на интеграл с переменным верхним пределом:
- .
При неполная бета-функция совпадает с полной.
Регуляризованная неполная бета-функция определяется через полную и неполную бета-функции:
- .
Свойства
- ;
- ;
- .
Применение
С помощью бета-функции описываются многие свойства элементарных частиц, участвующих в сильном взаимодействии. Эта особенность подмечена Габриэле Венециано в 1968 году. В 1970 году Ёитиро Намбу, Холгер Бен Нильсен и Леонард Сасскинд сумели выявить физический смысл, скрывавшийся за бета-функцией. Это положило начало теории струн.
См. также
Категория:- Специальные функции
Wikimedia Foundation. 2010.