Метрика Хаусдорффа

В геометрии, метрика Хаусдорфа есть естественная метрика определённая на множестве всех компактных подмножеств метрического пространства. Таким образом, метрика Хаусдорфа превращает множество всех компактных подмножеств метрического пространства в метрическое пространство.

Определение

Пусть X и Y суть два компактных подмножества метрического пространства M. Тогда расстояние по Хаусдорфу, d_H(X,Y), между X и Y есть минимальное число r такое что замкнутая r-окрестность X содержит Y и также замкнутая r-окрестность Y содержит X.

Другими словами, если | xy | обозначает расстояние между точками x и y в M то

$d_H(X,Y)=\max\left\{\sup_{x\in X}\inf_{y\in Y}|xy|, \ \sup_{y\in Y}\inf_{x\in X}|xy|\right\}.$

Свойства

Пусть F(M) обозначает множество всех компактных подмножеств метрического пространства M с метрикой Хаусдорфа

• Топология пространства F(M) полностью определяется топологией M.
• F(M) компактно тогда и только тогда когда компактно M.
• F(M) полно тогда и только тогда когда M полное.

Вариации

• Иногда метрика Хаусдорфа рассматривается на множестве всех замкнутых подмножеств метрического пространства, в этом случае расстояние между некоторыми подмножествами может равняться бесконечности.
• Иногда метрика Хаусдорфа рассматривается на множестве всех подмножеств метрического пространства, в этом случае она уже не является метрикой, так как «расстояние» между различными подмножествами может равняться нулю.
• В евклидовой геометрии, часто применяется метрика Хаусдорфа с точностью до конгруэнтности. Пусть X и Y два компактных подмножества евклидова пространства, тогда D_H(X,Y) определяется как минимум d_H(I(X),Y) по всем движениям евклидова пространства I. Строго говоря, эта метрика на пространстве классов конгруэнтности компактных подмножеств евклидова пространства.
• Метрика Громова — Хаусдорфа аналогична метрике Хаусдорфа с точностью до конгруэнтности. Она превращает множество (изометрических классов) компактных метрических пространств в метрическое пространство.

Ссылки

• В.А.Скворцов, Примеры метрических пространств, Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 9, (2001).