Лемма Морса

Лемма Морса — лемма, описывающая поведение гладкой или аналитической вещественной функции в окрестности невырожденной критической точки. Названа в честь американского математика Марстона Морса.

Формулировка

Пусть $f: \R^n\to\R$ — функция класса $\,C^{r+2}$, где $r \ge 1$, имеющая точку $0\in\R^n$ своей невырожденной критической точкой, то есть в этой точке дифференциал $\frac{\partial f}{\partial x}$ обращается в нуль, а гессиан $\Bigl|\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\Bigr|$ отличен от нуля. Тогда в некоторой окрестности $U$ точки $0$ существует такая система $\,C^{r}$-гладких локальных координат (карта) $(x_1,x_2, \ldots ,x_n)$ с началом в точке $0$, что для всех $x\in U$ имеет место равенство

$f(x)=f(0)-x_1^2-\dots-x_k^2+x_{k+1}^2+\dots+x_n^2$.

При этом число $k$, определяемое сигнатурой квадратичной части ростка $f$ в точке $0$, называется индексом критической точки $0$ данной функции — частный случай общего понятия индекс Морса.

Доказательство  

Линейная часть функции $\,f(x)$ в точке $0$ равна нулю, а квадратичная часть невырожденная. Сделаем линейную замену переменных $(x_1, \ldots ,x_n)$, приводящую квадратичную часть к каноническому виду $x_1^2-\dots-x_k^2+x_{k+1}^2+\dots+x_n^2$.

Затем, дважды применяя лемму Адамара, представим $\,f(x)$ в виде

$f(x)=f(0)-x_1^2(1+h_1(x)) -\dots -x_k^2(1+h_k(x)) + x_{k+1}^2(1+h_{k+1}(x)) +\dots+ x_n^2(1+h_n(x))$,

где все $\,h_i(x)$ — функции класса $\,C^{r}$, обращающиеся в нуль в точке $0$. Замена переменных $x_i \to x_i \sqrt{1+h_i(x)}$, определенная в некоторой окрестности точки $0$, приводит $\,f(x)$ к требуемой форме.

Вариации и обобщения

Теорема Тужрона

В окрестности критической точки $0$ конечной кратности $\mu$ существует система координат, в которой гладкая функция $f(x)$ имеет вид многочлена $P_{\mu+1}(x)$ степени $\mu+1$ (в качестве $P_{\mu+1}(x)$ можно взять многочлен Тейлора функции $f(x)$ в точке $0$ в исходных координатах). В случае невырожденной критической точки кратность $\mu=1$, и теорема Тужрона превращается в лемму Морса.

Лемма Морса с параметрами

Пусть $f(x_1,\ldots,x_n, y_1,\ldots,y_m): \R^{n+m} \to \R$ — гладкая функция, имеющая начало координат $0$ своей критической точкой, невырожденной по переменным $x_1,\ldots,x_n$. Тогда в окрестности точки $0$ существуют гладкие координаты, в которых

$f(x,y) = \alpha_1 x_1^2 + \cdots + \alpha_n x_n^2 \, + \, f_0(y_1,\ldots,y_m), \quad \alpha_i = \pm 1,$

где $\,f_0$ — некоторая гладкая функция. Это утверждение позволяет свести исследование особенности (критической точки) функции от $n+m$ переменных к исследованию особенности функции от меньшего числа переменных (а именно, от числа переменных, равного корангу гессиана исходной функции).

Литература

• Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Любое издание.
• Зорич В. А. Математический анализ, — Любое издание.
• Хирш М. Дифференциальная топология, — Любое издание.
• Takens F. A note on sufficiency of jets. — Inventiones Mathematicae, vol. 13, no 3, 1971, pp. 225—231.
• Самойленко А. М. Об эквивалентности гладкой функции полиному Тэйлора в окрестности критической точки конечного типа, — Функц. анализ и его прил., 2:4 (1968), стр. 63–69.
• Даринский Б. М., Сапронов Ю. И., Царев С. Л. Бифуркация экстремалей фредгольмовых функционалов, — СМФН, 12, М., 2004, стр. 3–140.