- Магма (алгебра)
-
Магма (группоид) — в абстрактной алгебре — базовый тип алгебраической структуры. Магма состоит из множества М с одной бинарной операцией M × M → M. Помимо требования замкнутости множества относительно заданной на нём операции, других требований к операции и множеству не предъявляется.
Термин магма был предложен Бурбаки. Термин группоид старше, но использование его в качестве альтернативы ввёл Остин Ор. Однако группоид также относится к другой алгебраической структуре, имеющей отношение к теории категорий.
Содержание
Типы магм
Как таковые магмы обычно не изучаются; вместо этого изучаются различные типы магм, отличающиеся дополнительно вводимыми аксиомами. Обычно изучаемые типы магм включают следующие:
- квазигруппа — непустая магма, в которой всегда возможно деление;
- петля или лупа — квазигруппа с нейтральным элементом;
- полугруппа — магма с ассоциативной операцией;
- моноид — полугруппа с нейтральным элементом;
- группа — моноид с обратным элементом или, что то же, ассоциативная петля (всегда являющаяся квазигруппой);
- абелева группа — группа с коммутативной операцией.
Морфизм магм
Морфизм магм — это функция , соотносящая магме магму , которая сохраняет бинарную операцию:
где и обозначают бинарные операции на и на соответственно.
Комбинаторика и скобки
Для общего, неассоциативного случая, операция магмы может быть многократно повторена. Для обозначения порядка используются скобки. Результирующая строка состоит из символов, обозначающих элементы магмы и сбалансированных скобок. Множество всех возможных строк сбалансированных скобок называется языком Дика. Общее число различных способов записи n применений оператора магмы определяется числом Каталана . Так например, , что эквивалентно утверждению, что и — единственно возможные способы определения порядка применения двух операций магмы, включающей множество из трёх элементов.
Для упрощения записи и сокращения числа используемых скобок используется условное обозначение. Для того, чтобы обозначить более высокий приоритет у выполнения операции используют запись рядом. Например, если операция магмы *, то xy*z — сокращённая запись (x * y) * z. Дальнейшие сокращения возможны за счёт использования пробелов. Например, записывая xy*z * wv вместо ((x * y) * z) * (w * v). Разумеется, для более сложных выражений отказ от использования скобок нежизнеспособен. Способом избежать использования скобок является префиксная запись, которая, однако, неинтуитивна.
См. также
Литература
- Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. — М.: Высшая школа, 1979.
Категории:- Алгебра
- Абстрактная алгебра
Wikimedia Foundation. 2010.