- Гипотеза Артина
-
В теории чисел гипотеза Артина — это гипотеза о существовании и количественной оценке простых чисел, по модулю которых заданное целое число является первообразным корнем.
Содержание
Формулировка
Для любого целого числа a, не являющегося точным квадратом и отличного от -1, существует бесконечно много простых чисел, по модулю которых a является первообразным корнем. Более того, для количества таких простых чисел не превышающих x справедлива асимптотика:
- при
где — константа, зависящая только от a.
В настоящий момент неизвестно даже, верна ли гипотеза для конкретного числа a=2.Пример
Число 2 является первообразным корнем, в частности, по модулю 3 и по модулю 5, но не по модулю 7. Последовательность простых чисел, по модулю которых 2 является первообразным корнем, начинается так:
На данный момент остаётся открытым вопрос о бесконечности этой последовательности. Гипотеза Артина предполагает утвердительный ответ на этот вопрос.
См. также
Ссылки
- Сендеров В., Спивак А. Малая теорема Ферма // Квант. — 2000. — № 4. — С. 15-18.
- M. Ram Murty (1988). «Artin's conjecture for primitive roots». Mathematical Intelligencer 10: 59-67. DOI:10.1007/BF03023749.
Категории:- Теория чисел
- Математические гипотезы
- Аналитическая теория чисел
Wikimedia Foundation. 2010.