Гипотеза Гильбрайта

Гипотеза Гильбрайта — гипотеза в теории чисел, утверждющая, что если взять последовательность простых чисел, применить к ней разностный оператор со взятием абсолютных значений и повторять этот процесс к получающимся последовательностям, то получаемые последовательности всегда будут начинаться на 1. Гипотеза получила известность после того, как была опубликована в 1958 г. Норманом Гильбрайтом^[1]. Однакое, ещё в 1878 году Франсуа Прот (англ.) публиковал предполагаемое доказательство этой же гипотезы, которое, как затем выяснилось, было ошибочным.^[1]

Истоки гипотезы

Рассмотрим последовательность простых чисел

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …

Вычислим абсолютные значения разностей между каждым n+1-м членом и предыдущим ему n-ым членом и выпишем полученную последовательность

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, …

Выполняя те же вычисления для полученной последовательности, получим еще одну последовательность, для которой снова построим процесс и так до бесконечности. Выпишем все полученные последовательности:

1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, …

1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, …

1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, …

1, 2, 0, 0, 0, 2, …

1, 2, 0, 0, 2, …

Видим, что первый элемент каждой последовательности равен 1.

Гипотеза

Сформулировать гипотезу Гильбрайта проще, если ввести некоторые обозначения для последовательностей из предыдущей секции. обозначим $\{p_{n}\}$ упорядоченную последовательность простых чисел $p_{n}$, и определим члены последовательности $\{d_{n}\}$ как

$d_{n} = p_{n+1} - p_{n}~$,

где n — натуральное. Считаем также, что $\{d_{n}\}=\{d_{n}^1\}$ и для каждого натурального $k>1$, определим последовательность $\{d_{n}^{k}\}$ формулой

$d_{n}^{k} = |d_{n+1}^{k-1}-d_{n}^{k-1}|$.

(здесь k — это не степень, а верхний индекс)

Гипотеза Гильбрайта утверждает, что каждый член последовательности $a_{k} = d_{1}^{k}$ равен 1.

Проверка и попытки доказательства

На 2011 год не было правильного опубликованного доказательства гипотезы. Как уже говорилось во введении, Франсуа Прот (англ.) написал доказательство утверждения, однако позже было показано, что оно ошибочно. Эндрю Одлызко (англ.) в 1993 проверил, что $d_1^k$ равно 1 для всех $k \leqslant n = 3{,}4\cdot 10^{11}$,^[2] но гипотеза остается открытой проблемой. Вместо вычисления всех n строк таблицы, Одлызко вычислил 635 строк и установил, что 635-я строка начинается с 1 и далее состоит только из чисел 0 и 2. Отсюда следует, что все n строк начинаются с единицы.

См. также

• Разностный оператор
• Пробелы между простыми
• Rule 90, клеточный автомат, который контролирует поведение строк, содержащих только значения 0 и 2.
• Открытые проблемы в теории чисел

Литература

• В.  Серпинский Что мы знаем и чего не знаем о простых числах. — Ленинград, ФизМатЛит, 1963.

Ссылки

1. ↑ ^{1 2} Caldwell, Chris, «The Prime Glossary: Gilbreath's conjecture», <http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=GilbreathsConjecture> .
2. ↑ Odlyzko, A. M. (1993), "«Iterated absolute values of differences of consecutive primes»", Mathematics of Computation Т. 61: 373–380, <http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/doc/arch/gilbreath.conj.ps> .

3. Weisstein, Eric W. Гипотеза Гильбрайта (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.