- Тринадцатая проблема Гильберта
-
Трина́дцатая пробле́ма Ги́льберта — одна из 23 задач, которые Давид Гильберт предложил 8 августа 1900 года на II Международном конгрессе математиков. Она была мотивирована применением методов номографии к вычислению корней уравнений высоких степеней, и касалась представимости функций нескольких переменных, в частности, решения уравнения седьмой степени как функции от коэффициентов, в виде суперпозиции нескольких непрерывных функций двух переменных.
Проблема была решена В. И. Арнольдом совместно с А. Н. Колмогоровым, доказавшими, что любая непрерывная функция любого количества переменных представляется в виде суперпозиции непрерывных функций одной и двух переменных (и, более того, что в таком представлении можно обойтись, в дополнение к непрерывным функциям одной переменной, единственной функцией двух переменных — их суммой):[1][2]
Содержание
Постановка проблемы
Уравнения степеней до четвёртой включительно разрешимы в радикалах: для их решений существуют явные формулы (формула Кардано и метод Феррари для уравнений третьей и четвёртой степени соответственно). Для уравнений степеней, начиная с пятой, их неразрешимость в радикалах утверждается теоремой Абеля — Руффини. Однако, преобразования Чирнгауза позволяют свести общее уравнение степени n>4 к виду, свободному от коэффициентов при , и ; для n=5 этот результат был получен Брингом в 1786, и для общего случая Джерардом в 1834.[3]. Тем самым (после дополнительной перенормировки), решение уравнений степеней 5, 6 и 7 сводилось к решению уравнений вида
- ,
зависящих от одного,двух и трех параметров соответственно.
Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного из участников Википедии, на этом месте должен располагаться специальный раздел.
Вы можете помочь проекту, написав этот раздел.Непредставимость с сохранением класса гладкости
Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного из участников Википедии, на этом месте должен располагаться раздел, посвящённый утверждению Гильберта и результатам Витушкина и Колмогорова о непредставимости.
Вы можете помочь проекту, написав этот раздел.Решение: теоремы Колмогорова и Арнольда
Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного из участников Википедии, на этом месте должен располагаться специальный раздел.
Вы можете помочь проекту, написав этот раздел.Литература
- ↑ В. И. Арнольд, Избранное-60, М.: Фазис, 1997. С. 18, теорема 4.
- ↑ On a constructive proof of Kolmogorov’s superposition theorem
- ↑ Weisstein, Eric W. Tschirnhausen Transformation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- В. И. Арнольд Избранное-60. — М.: Фазис, 1997.
- В. И. Арнольд О представлении непрерывных функций трех переменных суперпозициями непрерывных функций двух переменных // Матем. сб.. — 1959. — Т. 48(90). — № 1. — С. 3—74.
- А. Н. Колмогоров О представлении непрерывных функций нескольких переменных в виде суперпозиций непрерывных функций одной переменной и сложения // ДАН СССР. — 1957. — В. 5. — Т. 114. — С. 953—956.
- А. Г. Витушкин 13-я проблема Гильберта и смежные вопросы // УМН. — 2004. — Т. 59. — № 1(355). — С. 11–24.
- В. В. Прасолов Многочлены. — М.: МЦНМО, 2003. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1
- В. И. Арнольд Топологические инварианты алгебраических функций. II // Функц. анализ и его прил.. — 1970. — В. 2. — № 4. — С. 1-9.
- В. И. Арнольд О классах когомологий алгебраических функций, сохраняющихся при преобразованиях Чирнгаузена // Функц. анализ и его прил.. — 1970. — В. 1. — № 4. — С. 84—85.
- Г. Н. Чеботарев К проблеме резольвент // Учён. зап. Казан. гос. ун-та. — 1954. — Т. 114. — № 2. — С. 189—193.
- Проблемы Гильберта / под ред. П. С. Александрова. — М.: Наука, 1969. — 240 с. — 10 700 экз.
- David Hilbert Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900 (нем.). — Текст доклада, прочитанного Гильбертом 8 августа 1900 года на II Международном конгрессе математиков в Париже. Архивировано из первоисточника 8 апреля 2012. Проверено 27 августа 2009.
Проблемы Гильберта 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11 · 12 · 13 · 14 · 15 · 16 · 17 · 18 · 19 · 20 · 21 · 22 · 23 Категории:- Проблемы Гильберта
- Математический анализ
Wikimedia Foundation. 2010.