- Винеровский процесс
-
Винеровский процесс в теории случайных процессов — это математическая модель броуновского движения или случайного блуждания с непрерывным временем.
Содержание
Определение
Случайный процесс называется винеровским процессом, если
- почти наверное.
- — процесс с независимыми приращениями.
- , для любых , где обозначает нормальное распределение со средним и дисперсией . Величина является постоянной для данного процесса.
Физический смысл
Винеровский процесс описывает броуновское движение частицы, совершающей беспорядочные перемещения под влиянием ударов молекул жидкости. Константа при этом зависит от массы частицы и вязкости жидкости.
Непрерывность траекторий
Существуют винеровские процессы такие, что почти все их траектории непрерывны. Часто непрерывность траекторий включается в определение винеровского процесса.
Свойства винеровского процесса
- — гауссовский процесс.
- — марковский процесс.
- Очевидно, . В частности:
- ,
- .
- .
- Винеровский процесс автомоделен. Если — винеровский процесс, и , то
также является винеровским процессом.
- Корреляционная функция для производной винеровского процесса является дельта-функцией.
- Траектории винеровского процесса нигде не дифференцируемы почти наверное. Производная (в обобщенном смысле) винеровского процесса - нормальный белый шум.
- Для любого заданного отрезка траектории винеровского процесса — функции неограниченной вариации на этом отрезке почти наверное
Многомерный винеровский процесс
Многомерный (-мерный) винеровский процесс — это -значный случайный процесс, составленный из независимых одномерных винеровских процессов, то есть
- ,
где процессы совместно независимы.
Ссылки
- Стохастический мир — простое введение в стохастические дифференциальные уравнения
См. также
Категории:- Случайные процессы
- Марковские процессы
- Теория хаоса
Wikimedia Foundation. 2010.