- Квантовый газ
-
Квантовый газ — газ, состоящий из (квази)частиц, де-бройлевская длина волны которых намного превышает их радиус взаимодействия.
Свойства квантового газа зависят от степени его вырождения, характеризующегося температурой вырождения. Температура вырождения зависит от плотности газа, , — концентрация частиц, — масса частицы, — постоянная Больцмана. При условии газ является невырожденным и распределение частиц по энергиям описывается распределением Больцмана. В случае газ попадает в область квантового вырождения и представляет собой, в зависимости от статистики частиц, вырожденный Ферми-газ (полуцелый спин, Статистика Ферми — Дирака) или Бозе-газ (целый спин, Статистика Бозе — Эйнштейна).
Модель квантового газа широко применяется для решения задач физики твердого тела (электронный газ в металлах), астрофизики (свойства белых карликов и нейтронных звезд), физики конденсированного состояния (сверхтекучесть).
Различают идеальный (пренебрежение взаимодействием частиц) и реальный квантовый газ.
Содержание
Идеальный квантовый газ
Условием идеальности квантового газа является, фактически, условие разреженности , где — длина рассеяния частиц или, что то же, . При , где — температура вырождения, свойства квантового газа во многом не зависят от статистики составляющих его частиц. В противоположном случае, свойства Бозе- и Ферми-газа принципиально различны.
Статсумма идеального Бозе-Ферми газа задается формулой
где — статсумма одноуровневой системы, суммирование происходит по всем уровням системы, верхние знаки соответствуют случаю Ферми-, нижние — Бозе-газа, — одночастичный гамильтониан, — химический потенциал газа. Соответствующий этой статсумме термодинамический потенциал (большой термодинамический потенциал Гиббса):
-
-
-
- ,
-
-
где — объем системы, — постоянная Планка, — вырождение по спину.
Среднее число частиц на уровне: .
Интегралы в термодинамическом потенциале сводятся к спецфункциям: функции Ферми-Дирака
для случая Ферми-газа и обобщенной -функции Римана
для случая Бозе-газа.
Если ввести функцию
то термодинамический потенциал можно переписать в виде
Тогда уравнения состояния и основные термодинамические характеристики квантового идеального газа можно записать в общем для Ферми- и Бозе-газа виде. Так, уравнения состояния принимают вид:
а выражение для энтропии:
Также, можно написать и выражения для теплоемкости:
Низкотемпературное поведение Ферми-газа
При подинтегральное выражение в формуле для функции теряет непрерывность. Скачок функции происходит при энергии, равной — энергии Ферми. Когда температура близка, но отлична от нуля, подинтегральное выражение можно разложить в ряд (по параметру ) и интеграл принимает вид:
Подставляя это выражение в уравнения состояния и выражения для термодинамических характеристик, получаем:
Решая первое уравнение методом итераций находим выражение для химического потенциала и энергии Ферми:
Таким образом, при близкой к нулю температуре, идеальный Ферми-газ находится в основном состоянии, его частицы занимают все уровни энергии вплоть до , а все уровни выше свободны.
Необходимо отметить, что приближение идеального газа не описывает множество важных эффектов, таких как явление сверхпроводимости, сверхтекучести и т. д.
Низкотемпературное поведение Бозе-газа
При понижении температуры или увеличении плотности Бозе-газа параметр , следовательно химический потенциал и обратится в нуль при конечных значениях , связанных соотношением . При этом заселенность нулевого уровня формально равно бесконечности, поэтому точка называется точкой Бозе-конденсации. Явление Бозе-конденсации невозможно описать в рамках приближения идеального Бозе-газа, поэтому ограничимся описанием поведения Бозе-газа в окрестности точки Бозе-конденсации.
Асимптотикой функции при является
откуда при следует выражение для химического потенциала: где — отклонения от точки Бозе-конденсации.
Для расчета энтропии и теплоемкости также понадобятся асимптотики функций и , которые могут быть получены аналогично предыдущей и имеют вид:
См. также
Литература
- Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика.
- Куни Ф. М. Статистическая физика.
- Налимов М. Ю., Новожилова Т. Ю. Квантовые газы.
Категории:- Термодинамика
- Статистическая физика
- Квантовая механика
- Газ
-
Wikimedia Foundation. 2010.