- Локальное кольцо
-
Локальное кольцо — коммутативное кольцо, обладающее единственным максимальным идеалом.
Если в кольце максимальный идеал единствен, то он состоит из всех необратимых элементов кольца, и наоборот: если все необратимые элементы кольца образуют идеал, то этот идеал — максимальный, и других максимальных идеалов в кольце нет.
Локализация кольца по простому идеалу
Пусть R — коммутативное кольцо с единицей, и — простой идеал в нём. Множество — образует мультипликативную систему кольца R, соответствующую простому идеалу .
Локализацией кольца R по простому идеалу называется кольцо частных кольца R по мультипликативной системе . Как и в общем случае кольца частных, определён канонический гомоморфизм кольца R в по формуле .
При этом все обратимые элементы в имеют вид , где оба элемента , а необратимые — имеют вид r/s, и образуют идеал . Поскольку этот идеал содержит все необратимые элементы кольца , он — максимальный идеал, а — локальное кольцо.
См. также
Категория:- Теория колец
Wikimedia Foundation. 2010.