Функция Ландау

Не следует путать с символами Ландау.

Функция Ландау $g(n)$ в теории чисел, названная в честь немецкого математика Эдмунда Ландау, определяется для любого натурального числа n как наибольший порядок элемента симметрической группы $S_n$.

Определения

Эквивалентные определения: $g(n)$ равно наибольшему из наименьших общих кратных (НОК) по всем разбиениям числа n, или максимальному числа раз, которое подстановка из n элементов может быть последовательно применена до первого появления первоначальной последовательности. Таким образом, формально:

$g(n)=\max\limits_{k_1+\ldots+k_m=n} HOK(k_1, \ldots, k_m)$.

Например, 5 = 2 + 3 и НОК(2,3) = 6. Никакое другое разбиение не даёт бо́льшее наименьшее общее кратное, следовательно $g(5) = 6$. Элемент порядка 6 в группе $S_5$ может быть записан в виде произведения двух циклов: (1 2) (3 4 5).

Свойства

Целочисленная последовательность g(0) = 1, g(1) = 1, g(2) = 2, g(3) = 3, g(4) = 4, g(5) = 6, g(6) = 6, g(7) = 12, g(8) = 15, … — последовательность A000793 в OEIS, названа в честь Эдмунда Ландау, доказавшего в 1902^[1], что

$\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(g(n))}{\sqrt{n \ln(n)}} = 1$

(где ln обозначает натуральный логарифм).

При этом локальные максимумы этого выражения случаются при n=2, 3, 5, 7, 9, 10, 12, 17, 19, 30, 36, 40, … (последовательность A103635 в OEIS).

Утверждение о том, что

$\ln g(n)<\sqrt{\mathrm{Li}^{-1}(n)}$

для всех n, где $Li^{-1}$ обозначает обратную функцию к интегральному логарифму, эквивалентно гипотезе Римана.

Другие соотношения:

• НОК (1, 2, …, n) $\leqslant g\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)\sim e^{\sqrt{\frac{n(n+1)}{2}\ln\frac{n(n+1)}{2}}}$. Первое неравенство следует из того, что $1+2+\dots+ n=\frac{n(n+1)}{2}$ — одно из разбиений, вторая асимптотика из утверждения Ландау.
• Пусть gpf(g(n)) — наибольший простой множитель g(n). Первые члены этой функции при n=2, 3, … будут 2, 3, 2, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 11, … (последовательность A129759 в OEIS). J.-L. Nicolas в 1969 показал, что $gpf(g(n))\sim \sqrt{n\ln n}$. J.-P. Massias et al. (1988, 1989) показали, что для всех $n\geqslant 2$, $gpf(g(n))\leqslant 2{,}86\sqrt{n\ln n}$, а J. Grantham (1995) показал, что для всех $n\geqslant 5$, константа 2,86 может быть улучшена до 1,328.

Примечания

1. ↑ Landau, pp. 92-103

Литература

• E. Landau, «Über die Maximalordnung der Permutationen gegebenen Grades [О максимальном порядке перестановки заданного порядка]», Arch. Math. Phys. Ser. 3, vol. 5, 1903.
• W. Miller, «The maximum order of an element of a finite symmetric group» , American Mathematical Monthly, vol. 94, 1987, pp. 497—506.
• J.-L. Nicolas, «On Landau’s function g(n)», in The Mathematics of Paul Erdős, vol. 1, Springer-Verlag, 1997, pp. 228—240.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Landau Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• последовательность A000793 в OEIS — функция Ландау для натуральных чисел.