Афинно-квадратичная функция

Аффинно-квадратичной функцией на аффинном пространстве $S$ называется всякая функция $Q : S \rightarrow K$, имеющая в векторизованной форме вид $Q(x)=x^TAx + b^Tx + c$, где $A$ - симметричная матрица, $b$ - линейная функция, $c$ - константа.

Перенос начала отсчета

При переносе начала отсчета $o$ в точку $o'=o+a$ формула изменяется следующим образом:

$A'=A$

$b'=2A a + b$

$c'=a^TAa + ba + c$

Доказательство  

$Q(o'+x)=Q(o+a+x)=(a+x)^T A (a+x)+ b^T(a+x)+c=$
$=a^TAa + 2a^T A x + x^T A x + b^T a + b^T x + c = x^T A x + (2a^T A x + b^T x)+(a^TAa+ b^T a + c).$
Следовательно $A$ не зависит от выбора начала отсчета.

Выражение в координатах

$Q(x)=\sum_{i,j}a_{ij}x_ix_j+\sum_{i}b_{i}x_i+c,$

где $a_{ij}=a_{ji}, c=Q(0), b_{i}$=$\frac{\partial Q}{\partial x_i}(0)$

Центр аффинно-квадратичной функции

Точка $a$ называется центром аффинно-квадратичной функции $Q$, если $\forall x: Q(a+x)=Q(a-x).$ Это имеет место тогда и только тогда, когда $\frac{\partial Q}{\partial x}=0$. Cледовательно множество всех центров задается системой уравнений $\frac{\partial Q}{\partial x} = 2Ax + b = 0.$ В общем случае это афинное подпространство, а если $A$ невырождена, то одна точка.

Квадрики

Множество вида $X(Q)=\{p: Q(p)=0\}$, где $Q$ — аффинно-квадратичная функция (если оно не пусто и не плоскость) называется квадрикой или гиперповерхностью второго порядка. Квадрика на плоскости называется коникой или кривой второго порядка, в трехмерном пространстве — поверхностью второго порядка.

Точка $o$ называется центром квадрики, если квадрика симметрична относительно нее.