- Производная функции
-
Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).
Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.
История
В классическом дифференциальном исчислении производная чаще всего определяется через понятия теории пределов, однако исторически теория пределов появилась позже дифференциального исчисления.
Русский термин «производная функции» впервые употребил В. И. Висковатов.[1]
Определение
Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции называется такое число , что функцию в окрестности можно представить в виде
если существует.
Определение производной функции через предел
Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции в точке называется предел, если он существует,
Общепринятые обозначения производной функции в точке
Заметим, что последнее обычно обозначает производную по времени (в теоретической механике).
Дифференцируемость
Производная функции в точке , будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция является дифференцируемой в точке тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:
Для дифференцируемой в функции в окрестности справедливо представление
- при
Замечания
- Назовём приращением аргумента функции, а приращением значения функции в точке Тогда
- Пусть функция имеет конечную производную в каждой точке Тогда определена произво́дная фу́нкция
- Функция, имеющая производную в точке, непрерывна в ней. Обратное не всегда верно.
- Если производная функция сама является непрерывной, то функцию называют непреры́вно дифференци́руемой и пишут:
Геометрический и физический смысл производной
Тангенс угла наклона касательной прямой
Если функция имеет конечную производную в точке то в окрестности её можно приблизить линейной функцией
Функция называется касательной к в точке Число является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.
Скорость изменения функции
Пусть — закон прямолинейного движения. Тогда выражает мгновенную скорость движения в момент времени Вторая производная выражает мгновенное ускорение в момент времени
Вообще производная функции в точке выражает скорость изменения функции в точке , то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью
Производные высших порядков
Понятие производной произвольного порядка задаётся рекуррентно. Полагаем
Если функция дифференцируема в , то производная первого порядка определяется соотношением
Пусть теперь производная -го порядка определена в некоторой окрестности точки и дифференцируема. Тогда
Если функция имеет в некоторой области D частную производную по одной из переменных, то названная производная, сама являясь функцией от может иметь в некоторой точке частные производные по той же или по любой другой переменной. Для исходной функции эти производные будут частными производными второго порядка (или вторыми частными производными).
- или
- или
Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Например,
Способы записи производных
В зависимости от целей, области применения и используемого математического аппарата используют различные способы записи производных. Так, производная n-го порядка может быть записана в нотациях:
- Лагранжа , при этом для малых n часто используют штрихи и римские цифры:
- и т. д.
Такая запись удобна своей краткостью и широко распространена; однако штрихами разрешается обозначать не выше третьей производной.
- Лейбница, удобная наглядной записью отношения бесконечно малых (только в случае, если — независимая переменная; в противном случае обозначение верно лишь для производной первого порядка):
- Ньютона, которая часто используется в механике для производной по времени функции координаты (для пространственной производной чаще используют запись Лагранжа). Порядок производной обозначается числом точек над функцией, например:
- — производная первого порядка по при , или — вторая производная по в точке и т. д.
- Эйлера, использующая дифференциальный оператор (строго говоря, дифференциальное выражение, пока не введено соответствующее функциональное пространство), и потому удобная в вопросах, связанных с функциональным анализом:
- , или иногда .
- В вариационном исчислении и математической физике часто применяется обозначение , ; для значения производной в точке — . Для частных производных обозначение то же, поэтому смысл обозначения определяют из контекста.
Конечно, при этом необходимо не забывать, что служат все они для обозначения одних и тех же объектов:
Примеры
- Пусть . Тогда
- Пусть . Тогда если то
где обозначает функцию знака. Если то а следовательно не существует.
Правила дифференцирования
Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу. Если C — постоянное число и f=f(x), g=g(x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:
, то
- Формулы производной произведения и отношения обобщаются на случай n-кратного дифференцирования (формула Лейбница):
- где — биномиальные коэффициенты.
Следующие свойства производной служат дополнением к правилам дифференцирования:
- если функция дифференцируема на интервале , то она непрерывна на интервале . Обратное, вообще говоря, неверно (например, функция на );
- если функция имеет локальный максимум/минимум при значении аргумента, равном , то (это так называемая лемма Ферма);
- производная данной функции единственна, но у разных функций могут быть одинаковые производные.
ДоказательствоТаблица производных некоторых функций
Функция Производная Примечание Доказательство- Фиксируем , придадим приращение аргументу . Вычислим приращение функции: , т.о См.
Доказательство- Фиксируем , придадим приращение аргументу . Вычислим приращение функции: , т.о См.
Производная вектор-функции по параметру
Определим производную вектор-функции по параметру:
- .
Если производная в точке существует, вектор-функция называется дифференцируемой в этой точке. Координатными функциями для производной будут .
Свойства производной вектор-функции (всюду предполагается, что производные существуют):
- — производная суммы есть сумма производных.
- — здесь — дифференцируемая скалярная функция.
- — дифференцирование скалярного произведения.
- — дифференцирование векторного произведения.
- — дифференцирование смешанного произведения.
См. также
- Таблица производных
- Дифференцирование сложной функции
- Производная обратной функции
- Дифференцируемая функция
- Обобщения производных
- Основная теорема анализа
- Геометрический смысл производной
- Частная производная
- Производная по направлению
- Дробная производная
Примечания
- ↑ Горный университет. Кафедра высшей математики
- ↑ Производная суммы равна сумме производных
- ↑ Отсюда, в частности, следует, что производная произведения функции и константы равна произведению производной этой функции на константу
Литература
- В. Г. Болтянский, Что такое дифференцирование?, «Популярные лекции по математике», Выпуск 17, Гостехиздат 1955 г., 64 стр.
- В. А. Гусев, А. Г. Мордкович «Математика»
- Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том 1
- В. М. Бородихин, Высшая математика, учеб. пособие, ISBN 5-7782-0422-1
Категория:- Дифференциальное исчисление
Wikimedia Foundation. 2010.