Сумма Дарбу

Определение

Пусть на отрезке [a,b] определена вещественнозначная функция f. Рассмотрим произвольный набор точек $x_1, \dots, x_{n-1}$, таких что: $a=x_0 < x_1 < x_2 < \dots < x_{n-1} < x_n=b$.

$T = \{x_1, x_2, \dots, x_{n-1}\}$ — разбиение отрезка [a,b].

Для $i \in \{1, \dots, n\}$ обозначим:

$m_i = \inf_{[x_{i-1}, x_i]} f(x)$

$M_i = \sup_{[x_{i-1}, x_i]} f(x)$

Тогда:

$s(T) = \sum_{i=1}^n m_if(x)$ — называется нижней суммой Дарбу, а

$S(T) = \sum_{i=1}^n M_if(x)$ — верхней суммой Дарбу.

Первое cвойство сумм Дарбу

Если T — произвольное разбиение отрезка [a,b], а $\sigma(T, \overrightarrow{\xi})$ — интегральная сумма, то $\forall T$:

$s(T) = \inf_{\overrightarrow{\xi}} \sigma(T, \overrightarrow{\xi})$

$S(T) = \sup_{\overrightarrow{\xi}} \sigma(T, \overrightarrow{\xi})$

Второе cвойство сумм Дарбу

Если T₁,T₂ — произвольные разбиения отрезка [a,b], то $\forall T_1, T_2$:

$(T_1 \sube T_2) \rArr (s(T_1) \le s(T_2) \and S(T_1) \ge S(T_2))$

Третье свойство сумм Дарбу

Если T₁,T₂ — произвольные разбиения отрезка [a,b], то $\forall T_1, T_2$:

$s(T_1) \le S(T_2)$

См. также

• Интеграл Дарбу