Расширенная комплексная плоскость
- Расширенная комплексная плоскость
-
Сфе́ра Ри́мана — риманова поверхность, естественная структура на расширенной комплексной плоскости , являющаяся комплексной проективной прямой . Как вещественное многообразие диффеоморфна двумерной сфере S2.
Координаты
Численные координаты на сфере Римана вводятся тремя способами:
- аффинная комплексная координата z, способная принимать значение ;
- проективные комплексные координаты [z0:z1];
- трёхмерные вещественные координаты ξ,η,ζ, связанные уравнением:
- ξ2 + η2 + (ζ − 1)2 = 1.
Сфера Римана стереографической проекцией переводится на плоскость
Переход от одних координат к другим задаётся формулами:
задаёт отображение сферы с выколотым полюсом на комплексную плоскость, которое называется стереографической проекцией.
Преобразования Мёбиуса
Автоморфизмами сферы Римана являются преобразования Мёбиуса. Пусть a,b,c,d — матрица из . Её действие на сфере Римана в терминах проективных комплексных координат — просто умножение вектора-столбца координат на матрицу. В аффинных координатах действие выглядит так:
Приложения
Помимо математики, сфера Римана известна в теоретической физике.
В специальной теории относительности сфера Римана является моделью небесной сферы. Преобразования Мёбиуса связаны с преобразованиями Лоренца, и описывают искажение небесной сферы для наблюдателя, движущегося с околосветовой скоростью.
Преобразования Мёбиуса и Лоренца связаны также со спинорами. В квантовой механике сфера Римана параметризует состояния систем, описываемых 2-мерным пространством (см. q-бит), в особенности спина массивных частиц со спином 1/2, таких как электрон. В этом контексте сферу Римана называют сферой Блоха и используют на ней координаты «широта-долгота» почти как на обычной сфере, только широту θ отсчитывают от полюса и делят угол на 2, т. ч. 0 < θ < π / 2 (см. рис.)
В таком случае верны соотношения:
Внутренность сферы
Внутренность сферы (шар) допускает смысловое толкование в обоих указанных выше приложениях. Как небесная сфера является множеством светоподобных направлений пространства-времени, так и её внутренность соответствует направлениям времениподобным, т.е. фактически релятивистским досветовым скоростям. Это пространство является гиперболическим (имеет постоянную отрицательную кривизну наподобие плоскости Лобачевского, только при размерности 3 а не 2); на него естественным образом распространяется действие преобразований Мёбиуса.
Внутренность сферы Блоха отвечает так называемым смешанным состояниям q-бита, и геометрически устроена как обычный шар.
Однако, и то и другое описывается положительно определёнными эрмитовыми матрицами размера 2×2, рассматриваемыми с точностью до умножения на положительное число.
Wikimedia Foundation.
2010.
Полезное
Смотреть что такое "Расширенная комплексная плоскость" в других словарях:
РАСШИРЕННАЯ КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ — плоскость комплексного переменного , компактифицированная посредством добавления бесконечно удаленной точки и обозначаемая . Окрестностью является внешность любого круга в , т. е. множество вида . Р. к. п. есть Александрова бикомпактное… … Математическая энциклопедия
Комплексная плоскость — Комплексная плоскость[1] это двумерное вещественное пространство , которое изоморфно полю комплексных чисел . Каждая точка такого пространства это упорядоченная пара вида , где и вещественные числа, и где первый элемент пары соответствует… … Википедия
РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ — а н а л и т и ч е с к ой ф у н к ц и и w=f(z) к о м п л е к с н о г о п е р ем е н н о г о z поверхность R такая, что данная полная аналитическая функция w=f(z), вообще говоря многозначная, может рассматриваться как однозначная аналитич. ция… … Математическая энциклопедия
РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ КЛАССИФИКАЦИЯ — изучение римановых поверхностей (р. п.), связанное с рассмотрением поведения функций различных классов на этих поверхностях. Комплексная функция на р. п. Rназ. а н а л и т и ч е с к о й на R, если для любой точки существуют окрестность Uи… … Математическая энциклопедия
СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ — соответствие между точками сферы и плоскости, получаемое следующим образом; из нек рой точки Sна сфере (центра С. п.) другие точки сферы проектируются лучами на плоскость, перпендикулярную радиусу сферы S0 (на рис. эта плоскость экваториальная,… … Математическая энциклопедия
РИМАНА СФЕРА — сфера в евклидовом пространстве (x, h, t), на к рую расширенная комплексная плоскость отображается взаимно однозначно и конформно при помощи стереографической проекции. Напр., в качестве Р. с. можно взять единичную сферу а плоскость совместить с… … Математическая энциклопедия
РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ — поверхность, локально устроеннаякак область комплексной плоскости (комплексное аналитич. многообразие). Если X нек рая поверхность(многообразие), представимая в виде объединения открытых подмножеств {Ui}, каждоеиз к рых эквивалентно нек рой… … Физическая энциклопедия
система — 4.48 система (system): Комбинация взаимодействующих элементов, организованных для достижения одной или нескольких поставленных целей. Примечание 1 Система может рассматриваться как продукт или предоставляемые им услуги. Примечание 2 На практике… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
относительная — 3.1.24 относительная vmin или Y (relative vmin or Y): Отношение максимальной нагрузки Emax к минимальному поверочному интервалу весоизмерительного датчика vmin. Это отношение характеризует разрешающую способность весоизмерительного датчика, не… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации