Равнобочная гипербола

Равнобочная гипербола
Гипербола и её фокусы

Гипе́рбола — геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых абсолютное значение разности расстояний от M до двух выделенных точек F1 и F2 (называемых фокусами) постоянно, то есть

| | F1M | − | F2M | | = C

Наряду с эллипсом и параболой, гипербола является коническим сечением и квадрикой. Гипербола может быть определена как коническое сечение с эксцентриситетом, большим единицы.

Термин «гипербола» (греч. ύπερβολή — избыток) был введён Аполлонием Пергским, поскольку задача о построении точки гиперболы сводится к задаче о приложении с избытком.

Содержание

Каноническое уравнение гиперболы

Гипербола, её полуоси и асимптоты

Для любой гиперболы можно найти декартову систему координат такую, что гипербола будет описываться уравнением:

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.

Числа a\, и b\, называются соответственно вещественной и мнимой полуосями гиперболы.

Асимптотика

Каждая гипербола имеет пару асимптот:

\frac{x}{a}-\frac{y}{b}=0 и \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=0.

Связанные определения

  • Осью гиперболы называется прямая, соединяющая её фокусы.
  • Расстояние от начала координат до одного из фокусов гиперболы называют фокусным расстоянием гиперболы c\,.
  • Расстояние от начала координат до одной из вершин гиперболы называется большой или вещественной полуосью гиперболы a\,.
  • Расстояние от вершины гиперболы до асимптоты вдоль направления параллельного оси ординат называется малой или мнимой полуосью гиперболы b\,.
  • Отношение фокусного расстояния к большой полуоси гиперболы называется эксцентриситетом: \varepsilon = \frac{c}{a}\,. Эксцентриситет гиперболы всегда больше единицы.
  • Расстояние от фокуса до гиперболы вдоль прямой, параллельной оси ординат называется фокальным параметром p\,..
  • В задачах, связанных с движением тел по гиперболическим траекториям расстояние от фокуса до ближайшей вершины гиперболы называется перицентрическим расстоянием r_p\,.
  • Прицельным параметром называется расстояние от фокуса до одной из асимптот гиперболы. Прицельный параметр равен малой полуоси гиперболы.

Соотношения между элементами гиперболы

  • c^2 = a^2 + b^2\,.
  • b^2 = a^2\left( \varepsilon^2 - 1\right)\,.
  • r_p = a\left( \varepsilon - 1\right)\,.
  • a = \frac{p}{\varepsilon^2-1}\,.
  • b = \frac{p}{\sqrt{\varepsilon^2-1}}\,.
  • c = \frac{p\varepsilon}{\varepsilon^2-1}\,.
  • p = \frac{b^2}{a}.

Диаметры гиперболы

Диаметры гиперболы

Диаметром гиперболы, как и всякого конического сечения, является прямая, проходящая через середины параллельных хорд. Каждому направлению параллельных хорд соответствует свой сопряженный диаметр. Все диаметры гиперболы проходят через её центр. Диаметр, соответствующий хордам, параллельным мнимой оси, есть действительная ось; диаметр соответствующий хордам, параллельным действительной оси, есть мнимая ось.

Угловой коэффициент k\, параллельных хорд и угловой коэффициент k_1\, соответствующего диаметра связан соотношением

k \cdot k_1 = \varepsilon^2 - 1 = \frac{b^2}{a^2}

Если диаметр a делит пополам хорды, параллельные диаметру b, то диаметр b делит пополам хорды, параллельные диаметру a. Такие диаметры называются взаимно сопряженными. Главными диаметрами называются взимно сопряженные и взаимно перпендикулярные диаметры. У гиперболы есть только одна пара главных диаметров — действительная и мнимая оси.

Уравнение гиперболы в полярных координатах

Если полюс находится в фокусе гиперболы, а вершина гиперболы лежит на продолжении полярной оси, то

r = \frac{p}{\varepsilon \cos\phi - 1}

Если полюс находится в фокусе гиперболы, а полярная ось параллельна одной из асимптот, то

\frac{1}{r} = \frac{a}{b^2}\left(1-\cos\theta\right) + \frac{1}{b}\sin\theta
Равнобочная гипербола

Равнобочная гипербола

Гиперболу, у которой a = b, называют равнобочной. Равнобочная гипербола в некоторой прямоугольной системе координат описывается уравнением

xy = a2 / 2.

Примером равнобочной гиперболы служит график функции y = 1 / x.

Гиперболы, связанные с треугольником

Оптические свойства гиперболы

Свет от источника, находящегося в одном из фокусов гиперболы, отражается второй ветвью гиперболы таким образом, что продолжения отраженных лучей пересекаются во втором фокусе.

См. также

Литература


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Полезное


Смотреть что такое "Равнобочная гипербола" в других словарях:

  • Гипербола (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Гипербола. Гипербола и её фокусы …   Википедия

  • ГИПЕРБОЛА — плоская кривая, получающаяся в пересечении кругового конуса с плоскостью, не проходящей через вершину конуса и пересекающей обе его полости. Г. есть множество точек Мплоскости (см. рис.), модуль разности расстояний к рых до двух данных точек и… …   Математическая энциклопедия

  • дробно-линейная функция — частное двух линейных функций, то есть функция вида у = (ах + b)/(сх + d). Если ad – bc ≠ 0 и с ≠ 0, график дробно линейной функции  равнобочная гипербола. * * * ДРОБНО ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ ДРОБНО ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ, частное двух линейных функций, т. е …   Энциклопедический словарь

  • Линия — I Линия (от лат. linea)         геометрическое понятие, точное и в то же время достаточно общее определение которого представляет значительные трудности и осуществляется в различных разделах геометрии различно.          1) В элементарной… …   Большая советская энциклопедия

  • ДРОБНАЯ ЧАСТЬ — числа х разность между этим числом и его целой частью ДРОБНО ЛИНЕЙНАЯ функция частное двух линейных функций, т. е. функция вида y = (ах + b)/(сх + d). Если ad bc . 0 и с . 0, график дробно линейной функции равнобочная гипербола …   Большой Энциклопедический словарь

  • Дробно-линейная функция —         функция вида                  т. е. частное двух линейных функций. Д. л. ф. простейшая среди рациональных функций (См. Рациональная функция). При ad bc = 0 она сводится к тождественной постоянной; если ad bc ≠ 0, но с = 0, то Д. л. ф.… …   Большая советская энциклопедия

  • Линия (геометрич. понятие) — Линия (от лат. linea), геометрическое понятие, точное и в то же время достаточно общее определение которого представляет значительные трудности и осуществляется в различных разделах геометрии различно. 1) В элементарной геометрии рассматриваются… …   Большая советская энциклопедия

  • Пропорциональность —         простейший вид функциональной зависимости (см. Функция). Различают прямую и обратную П. Две переменные величины называют прямо пропорциональными (или просто пропорциональными), если отношение их не изменяется, т. е. во сколько раз… …   Большая советская энциклопедия

  • Синусоидальные спирали —         синус спирали, кривые, уравнения которых в полярной системе координат имеют вид                  , (*)          где n рациональное число. Частными случаями С. с. являются окружность, прямая, равнобочная гипербола, лемниската, кардиоида,… …   Большая советская энциклопедия

  • ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ — функция вида где z= (z1, ..., zn) комплексные или действительные переменные, aj, b, с j, d комплексные или действительные коэффициенты, |с 1| + ... + | с n| + |d|>0. Если |с 1| = .. .= |с п| = 0, то Д. л. ф. является целой линейной функцией;… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»