- Полином Джонса
-
Полином Джонса — полиномиальный инвариант узла. Более точно, это инвариант, сопоставляющий каждому узлу или зацеплению полином Лорана от формальной переменной t1/2 с целыми коэффициентами.
Содержание
Определение через скобку Кауффмана
Пусть задано ориентированное зацепление L. Определим сначала вспомогательный многочлен , где — число закрученности диаграммы , а — скобка Кауффмана. Число закрученности определяется как разница между числом положительных перекрёстков ( на рисунке ниже) и числом отрицательных перекрёстков, ( на рисунке ниже), и не является инвариантом узла: оно не сохраняется при преобразованиях Рейдемейстера I типа.
Тогда будет инвариантом узла, поскольку оно будет инвариантным относительно всех трёх преобразований Рейдемейстера диаграммы . Инвариантность относительно преобразований II и III типов следует из инвариантности скобки Кауффмана и числа закрученности относительно этих преобразований. Напротив, для преобразования I типа скобка Кауффмана умножается на , что в точности компенсируется изменением на +1 или -1 числа закрученности .
Теперь, выполняя подстановку в , мы получаем искомый многочлен Джонса . Он, как уже было сказано выше, является многочленом Лорана от переменной .
С помощью этого определения несложно проверить, что зеркально-симметричный образ зацепления имеет полином Джонса, отличающийся заменой t на t-1. В частности, полином Джонса узла, изотопного своему зеркальному образу — палиндром.Определение через представления группы кос
Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.Определение через скейн-соотношения
Полином Джонса однозначно задаётся тем, что он равен 1 на любой диаграмме тривиального узла, и следующими скейн-соотношениями:
Здесь , , и это три ориентированных диаграммы зацепления, совпадающих везде, кроме малой области, где их поведение соответственно является положительным и отрицательным пересечениями и гладким проходом без общих точек — см. следующий рисунок:Связь с теорией Черна-Саймонса
Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.См. также
- Полином Александера
- Полином HOMFLY
- Инвариант Васильева
Ссылки
- В. В. Прасолов, А. Б. Сосинский, Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия, М.: МЦНМО, 1997.
Категория:- Теория узлов
-
Wikimedia Foundation. 2010.