- Обозначения Дирака
-
〈 ∣ 〉 bra ket бра кет Бра и кет (англ. bra-ket ← bracket скобка) — алгебраический формализм (система обозначений), предназначенный для описания квантовых состояний. Называется также обозначениями Дирака. В матричной механике данная система обозначений является общепринятой.
Содержание
Определение и использование
Квантовая система рассматривается в гильбертовом пространстве , элементы (векторы) которого обозначаются как «кет-векторы». Сопряжённое пространство , элементы которого обозначаются как «бра-векторы», совпадает с с точностью до комплексного сопряжения. Это означает, что каждому кет-вектору можно сопоставить бра-вектор , и обратно.
Скалярное произведение бра-вектора с кет-вектором записывается в виде ; две вертикальные черты «сливаются». Квадрат вектора, по определению гильбертова пространства, неотрицателен: . На вектора, описывающие состояния системы, накладывается условие нормировки .
Свёртка оператора А с бра-вектором и кет-вектором записывается как ; это также скаляр (комплексное число). В частности, матричный элемент оператора А в определённом базисе (в тензорных обозначениях — Akl) записывается в обозначениях Дирака как , а среднее значение наблюдаемой на состоянии ψ — как .
Умножение векторов на оператор (кет-вектора — слева, бра-вектора — справа) даёт векторы того же типа и записывается тем же способом, что принят в алгебре:
Например, уравнение Шрёдингера (для стационарного состояния) будет иметь вид:
- , где H — гамильтониан, а E — скаляр (уровень энергии).
Отличия бра-кет-обозначений от традиционных
В математике употребляется обозначение «полуторалинейного» скалярного произведения в гильбертовом пространстве, имеющее тот же смысл, что и перемножение бра на кет. Однако, математики обычно рассматривают угловые скобки как знак операции, а не части обозначения вектора. Традиционное математическое обозначение, в отличие от дираковского, несимметрично — оба вектора предполагаются величинами одного типа, и по первому аргументу из двух операция является антилинейной. С другой стороны, произведение бра и кет является билинейным, но от двух аргументов разного типа. Сопряжённым к кет-вектору будет являться бра-вектор (где i — мнимая единица). Однако, в квантовой механике эту странность обозначений позволено игнорировать, поскольку квантовое состояние, представляемое вектором, не зависит от его умножения на любые комплексные числа, по модулю равные единице. Также, использование бра и кет позволяет подчеркнуть отличие состояния ψ (записывается без скобок и палок) от конкретных векторов, его представляющих.
В отличие от алгебраических обозначений, где элементы базиса обозначаются как ek, в бра-кет-обозначениях указывается только индекс базисного элемента: . Этим они похожи на тензорные обозначения, но в отличие от последних позволяют записывать произведения операторов с векторами без использования дополнительных (подстрочных или надстрочных) букв.
Математические свойства
Бра и кет можно использовать и в чистой математике для обозначения элементов сопряжённых друг другу линейных пространств. Кет-векторы считаются при этом «векторами-столбцами», а бра-векторы — «векторами-строками». Перемножение бра- и кет-векторов друг на друга и на операторы можно рассматривать как частный случай матричного формализма «строка на столбец». А именно, надо положить кет-векторы матрицами размера N×1, бра-векторы — размера 1×N, операторы — размера N×N, где N — количество состояний квантовой системы (размерность пространства ). Матрицы размера 1×1 имеют единственный элемент и отождествляются со скалярами. В случае бесконечномерного пространства состояний на «матрицы» (фактически, ряды) приходится накладывать дополнительные условия сходимости.
Формула для сопряжённого вектора выглядит следующим образом:
, где Запись типа 〈 … 〉 всегда означает скаляр. Бра-вектор всегда имеет скобку 〈 слева, кет-вектор — скобку 〉 справа. Произведение в «неестественном» порядке — 〉 〈 — даёт так называемый кет-бра-оператор — оператор ранга 1, являющийся тензорным произведением и . Они часто рассматриваются в теории операторов и квантовых вычислениях. В частности, оператор (при нормировке ) является проектором на состояние ψ, точнее, на соответственное одномерное линейное подпространство в .
Имеет место ассоциативность:
и т.д.
Интересные факты
- На семинаре в Институте физических проблем во время выступления Дирака, Ландау переводил термины "бра" и "кет" как "ско" и "бка".
Литература
- Ю. М. Белоусов. Курс квантовой механики. Нерелятивистская теория. Москва. 2006.
Wikimedia Foundation. 2010.