- Норма (математика)
-
Норма — функционал, заданный на векторном пространстве и обобщающий понятие длины вектора или абсолютного значения числа.
Содержание
Определение
Норма вектора
Норма в векторном пространстве над полем вещественных или комплексных чисел — это функционал , обладающий следующими свойствами:
-
- (неравенство треугольника);
Эти условия являются аксиомами нормы.
Векторное пространство с нормой называется нормированным пространством, а условия (1-3) — также аксиомами нормированного пространства.
Нетрудно видеть, что из аксиом нормы вытекает свойство неотрицательности нормы:
4.
Действительно:
Из 3 получаем, что . Теперь из 2 получаем . Таким образом, .
Чаще всего норму обозначают в виде: . В частности, — это норма элемента векторного пространства .
Вектор с единичной нормой () называется нормальным или нормированным.Любой ненулевой вектор можно нормировать, то есть разделить его на свою норму: вектор имеет единичную норму. С геометрической точки зрения это значит, что мы берем сонаправленный вектор единичной длины.
Норма матрицы
Нормой матрицы называется вещественное число , удовлетворяющее первым трём из следующих условий:
- , причём только при ;
- , где ;
- ;
- .
Если выполняется также и четвёртое свойство, норма называется мультипликативной. Матричная норма, составленная как операторная, называется подчинённой по отношению к норме, использованной в пространствах векторов. Очевидно, что все подчинённые матричные нормы мультипликативны. Немультипликативные нормы для матриц являются простыми нормами, заданными в линейных пространствах матриц.
Матричная норма из называется согласованной с векторной нормой из и векторной нормой из если справедливо:
для всех .
Объяснение "на пальцах"
Многие после прочтения данного текста задаются следующим вопросом: "Так что это такое? Есть какие-то аксиомы, которые должны выполняться, но зачем эта норма нужна в принципе?". Есть несколько распространенных вариантов ответа:
- Норма матрицы представляет собой некоторое число, отличное от нуля. Норма нужна для того, чтобы сравнивать, какая матрица "больше", а какая "меньше".
- Норма матрицы есть некоторая числовая характеристика отклонения ее от нуля. (Но это скорее относится к норме вообще).
Норма оператора
Норма оператора — число, которое определяется, как:
- ,
- где — оператор, действующий из нормированного пространства в нормированное пространство .
Это определение эквивалентно следующему:
- Свойства операторных норм:
- , причём только при ;
- , где ;
- ;
- .
Оператору в некотором базисе соответствует матрица — матрица оператора. Поэтому свойства нормы оператора полностью повторяют аналогичные свойства нормы матрицы.
Свойства нормы
- [косинус угла]
- [аксиома 1]
Эквивалентность норм
- Две нормы и на пространстве называются эквивалентными, если существует две положительные константы и такие, что для любого выполняется . Эквивалентные нормы задают на пространстве одинаковую топологию. В конечномерном пространстве все нормы эквивалентны.
Примеры
Линейные нормированные пространства
- Любое предгильбертово пространство можно считать нормированным, так как скалярное произведение порождает естественную норму
- Гёльдеровы нормы -мерных векторов (семейство): ,
где (обычно подразумевается, что это натуральное число). В частности:
-
- (евклидова норма),
- (это предельный случай ).
- Нормы функций в — пространстве вещественных (или комплексных) непрерывных функций на отрезке [0,1]:
- — в смысле этой нормы пространство непрерывных на отрезке функций образует полное линейное пространство. Этого нельзя сказать о следующих двух примерах нормы на этом пространстве, тем не менее, законных:
- Аналогично можно ввести нормы для конечномерных векторных функций конечномерных векторных аргументов, заменив на , а интегрирование по отрезку интегрированием по области (максимум же на отрезке — в соответствующем случае — максимумом на области).
Некоторые виды матричных норм
- -норма:
- -норма:
- Норма Фробениуса: .
- Здесь — сопряжённая к матрица, — след матрицы.
- p-норма ():
- В случае p = 2 (евклидова норма) и m = n (квадратные матрицы), подчиненная норма матрицы называется спектральная норма. Спектральная норма матрицы A равна наибольшему сингулярному числу матрицы A или квадратному корню из наибольшего собственного числа положительно полуопределённой матрицы :
- где обозначает матрицу, сопряжённую к матрице .
Связанные понятия
Топология пространства и норма
Норма задаёт на пространстве метрику (в смысле — функцию расстояния метрического пространства), порождая таким образом метрическое пространство, а значит топологию, базой которой являются всевозможные открытые шары, то есть множества вида . Понятия сходимости, определённой на языке теоретико-множественной топологии в такой топологии и определённой на языке нормы, при этом совпадают.
См. также
Категории:- Линейная алгебра
- Функциональный анализ
- Векторный анализ
-
Wikimedia Foundation. 2010.