Первый интеграл

Пе́рвый интегра́л системы обыкновенных дифференциальных уравнений

$\left\{ \begin{matrix} {x_1}'&=&a_1(x)\\ \dots&&\\ {x_n}'&=&a_n(x) \end{matrix} \right.,\quad x\in U$

— дифференцируемая функция $f: U\to\mathbb R$, $U\subseteq \mathbb R^n$, такая, что её производная по направлению векторного поля $A(x)= (a_1(x),\ldots,a_n(x))$

$L_A f= a_1(x)\frac{\partial f}{\partial x_1}+\dots+a_n(x)\frac{\partial f}{\partial x_n}=0$

для всех $x$ из области $U$. Другими словами, функция $f$ постоянна на любом решении системы, содержащемся в области $U$.

Первые интегралы используются при изучении автономных систем дифференциальных уравнений и решении дифференциальных уравнений в частных производных.

Пусть $U$ — область в $\mathbb R^n$, $A(x)= (a_1(x),\ldots,a_n(x))$ — дифференцируемое векторное поле в $U$, $x_0\in U$, $A(x_0)\ne 0$. Тогда существует такая окрестность точки $x_0$, что система дифференциальных уравнений

$\left\{ \begin{matrix} {x_1}'&=&a_1(x)\\ \dots&&\\ {x_n}'&=&a_n(x) \end{matrix} \right.$

имеет в этой окрестности ровно $n-1$ функционально независимых первых интегралов.

Примеры

Для уравнения $x''+V(x)=0$ относительно функции $x(t)$ первым интегралом является функция $E=\frac 12 x'^2+\int\limits_{x_0}^x V(z) dz$ (полная энергия в физических приложениях).

Литература

• В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1966.