Мультипликативность

Мультипликативная функция ― арифметическая функция одного аргумента f(m), удовлетворяющая условию

f(mn) = f(m)f(n)

для любой пары взаимно простых чисел m и n. Обычно предполагается, что f не равна тождественно нулю (что равносильно условию f(1) = 1).

Мультипликативная функция называется сильно мультипликативной, если

f(p^α) = f(p)

для всех простых p и всех натуральных α. Если условие мультипликативности выполняется для произвольных двух чисел m и n не обязательно взаимно простых, то f называется вполне мультипликативной; в этом случае

f(p^α) = f(p)^α

Примеры

• Функция τ(m) ― число натуральных делителей натурального m.
• Функция a(m) ― сумма натуральных делителей натурального m.
• Функция Эйлера $\varphi(m)$.
• Функция Мёбиуса μ(m).
• Функция $\frac{\varphi(m)}{m}$ является сильно мультипликативной.
• Степенная функция f(m) = m^α является вполне мультипликативной.