- Множество Кантора
-
Ка́нторово мно́жество есть один из простейших фракталов, подмножество единичного отрезка вещественной прямой, которое является классическим примером «плохого множества» в математическом анализе. Описано в 1883 году Г. Кантором.
Содержание
Определения
Классическое построение
Из единичного отрезка C0 = [0,1] удалим среднюю треть, т. е. интервал (1 / 3,2 / 3) Оставшееся точечное множество обозначим через C1. Множество состоит из двух отрезков; удалим теперь из каждого отрезка его среднюю треть, и оставшееся множество обозначим через C2. Повторив эту процедуру опять, удаляя средние трети у всех четырёх отрезков, получаем C3. Дальше таким же образом получаем . Обозначим через C пересечение всех Ci. Множество C называется Канторовым множеством.
Множества С помощью троичной записи
Канторово множество может быть также определено как множество чисел от нуля до единицы, которые можно представить в троичной записи с помощью только нулей и двоек. При этом следует отметить, что число принадлежит Канторовому множеству, если у него есть одно такое представление, например так как 0,13 = 0,0(2)3.
Как аттрактор
Рассмотрим все последовательности точек {xn} такие, что для любого n,
- xn + 1 = xn / 3 или xn + 1 − 1 = (xn − 1) / 3.
Тогда множество пределов всех таких последовательностей является Канторовым множеством.
Свойства
- Канторово множество замкнуто.
- Канторово множество континуально. В частности,
- Канторово множество не счётно
- Канторово множество имеет топологическую размерность 0.
- Канторово множество имеет промежуточную (т.е. не целую) Хаусдорфову размерность равную . В частности,
- Канторово множество имеет нулевую меру Лебега.
См. также
Wikimedia Foundation. 2010.